Calcolo Esempi

$\int \arctan (4 t) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (4 t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$t$ e $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Passaggio 4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Passaggio 5

Sia $u = 16 t^{2} + 1$ . Allora $d u = 32 t d t$ , quindi $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 16 t^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $16 t^{2}$ rispetto a $t$ è $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$32 t + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $32 t$ e $0$ .

$32 t$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $32$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{32}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{32}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{32}$ e $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$