Calcolo Esempi

$\int {(12 x + 5)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 12 x + 5$ . Allora $d u = 12 d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 12 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $12 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12$ e $0$ .

$12$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

$u^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{u^{2}}{12} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int u^{2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{12} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12 \cdot 3} u^{3} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$\frac{1}{36} u^{3} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 x + 5$ .

$\frac{1}{36} {(12 x + 5)}^{3} + C$