Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Passaggio 1

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 1.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.1

Per scrivere $\frac{1}{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- \frac{1}{t^{2} + t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Passaggio 1.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $t (t^{2} + t)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{t^{2} + t}$ per $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

Passaggio 1.1.3.3

Riordina i fattori di $(t^{2} + t) t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.1.5

Sottrai $t$ da $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.1.6

Somma $t^{2}$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ e $t$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $t^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 2.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

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Passaggio 2.1.3.3.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Passaggio 2.1.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 5.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 5.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$