Calcolo Esempi

$y = \frac{(x + 5) x}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = (x + 5) x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 5) x] - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + 0)) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \cdot 1) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.1.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Somma $5 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 5 - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $5 x$ da $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$