Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (2)$ .

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $2$ da $4 \ln (2)$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.3.2.4

Dividi $2 \ln (2)$ per $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.7

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3.11

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3.12

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 6.3.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.14.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

Passaggio 6.3.14.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.3.15

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

Passaggio 7.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2

Somma $2 \ln (2)$ e $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Forma decimale:

$0.63629436 \dots$