Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 1.2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{4} - 4 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\sqrt{2}$ a $x$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$4 - 8$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $- \sqrt{2}$ a $x$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{4}$ per $1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Passaggio 1.4.3.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Passaggio 1.4.3.2.1.8

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Passaggio 1.4.3.2.1.9.5

Calcola l'esponente.

$4 - 4 \cdot 2$

Passaggio 1.4.3.2.1.10

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$4 - 8$

Passaggio 1.4.3.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4$

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$81 - 36$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $36$ da $81$ .

$45$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$256 - 64$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $64$ da $256$ .

$192$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(4, 192)$

Minimo assoluto: $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 4