Calcolo Esempi

$4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.10

$4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.12

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{- 3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.2

$10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{10}{x^{3}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$