Calcolo Esempi

$\ln (1 + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + x}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + x}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{x + 1}$