Calcolo Esempi

$\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$