Calcolo Esempi

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ come ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{4}$ e ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.9

Sposta ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e $16$ .

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Passaggio 4.11

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.12.1

Scomponi $4$ da $4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Passaggio 4.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.16

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.17

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Passaggio 4.18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.18.1

Somma $16 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Passaggio 4.18.2

$16$ e $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Passaggio 4.18.3

Moltiplica $16$ per $4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Passaggio 4.18.4

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$