Calcolo Esempi

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 8 x$ . Allora $d u = 8 d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 8 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 8 x$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $8$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 8 x$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Passaggio 1.5

Moltiplica $8$ per $8$ .

$u_{upper} = 64$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 64$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $64$ e per $0$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 6.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Passaggio 6.2.13

Somma $\frac{1024}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Passaggio 6.2.14

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1024}{3}$ .

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.15

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{1024}{24}$

Passaggio 6.2.16

Elimina il fattore comune di $1024$ e $24$ .

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Passaggio 6.2.16.1

Scomponi $8$ da $1024$ .

$\frac{8 (128)}{24}$

Passaggio 6.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.16.2.1

Scomponi $8$ da $24$ .

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{128}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{128}{3}$

Forma decimale:

$42.\overline{6}$

Forma numero misto:

$42 \frac{2}{3}$

Passaggio 8