Calcolo Esempi

$f (x) = \csc (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 1.2

Riordina i fattori di $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cot (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Passaggio 2.8

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Passaggio 2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.2.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.2.4

Moltiplica $\csc^{3} (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Passaggio 2.12.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot^{2} (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\cot^{2} (x)$ per $\cot (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sposta $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $\cot^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = {\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.7

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.2.9

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Passaggio 3.3.4

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)$

Passaggio 3.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)$

Passaggio 3.3.6

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Riordina i fattori di $- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \csc^{3} (x) \cot (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.1.2

Sottrai $3 \csc^{3} (x) \cot (x)$ da $- 2 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.4.2

Riordina i termini.

$f''' (x) = - \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cot^{3} (x) \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot^{3} (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.3

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.5

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $\cot^{3} (x)$ per $\cot (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sposta $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.6.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $\cot^{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - ({\cot (x)}^{1 + 3} (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.6.3

Somma $1$ e $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.8

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) (\csc (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.2.10

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x) \cot (x))$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \csc^{3} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Passaggio 4.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Passaggio 4.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Passaggio 4.3.5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\csc^{3} (x)$ per $\csc^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Sposta $\csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{2} (x) \csc^{3} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 ({\csc (x)}^{2 + 3} \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{5} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- 1 \cdot \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.8

Riscrivi $- 1 \csc^{5} (x)$ come $- \csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Passaggio 4.3.10

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)))$

Passaggio 4.3.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)))$

Passaggio 4.3.12

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x)))$

Passaggio 4.3.13

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Passaggio 4.3.14

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Passaggio 4.3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 4.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\cot^{4} (x) (\csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3.2

Moltiplica $\cot^{4} (x)$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 (\cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3.5

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 (\csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Passaggio 4.4.3.6

Riordina i fattori di $3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$

Passaggio 4.4.3.7

Somma $3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ e $15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$ .

$\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$