Calcolo Esempi

$\sqrt{\sin (x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sin (x)}$ come ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7.3

Sposta ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Frazioni separate.

$\frac{\cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Converti da $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.3

$\frac{\cos (x)}{2}$ e ${\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.4

Riordina i fattori in $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)}{2}$