Calcolo Esempi

$- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 5)}^{2}$ per $1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 10 \frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 16

$- 10$ e $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $10$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.2.2

Moltiplica $10$ per $5$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.3

Scomponi $10$ da $- 30 x^{2} + 50$ .

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Passaggio 18.3.1

Scomponi $10$ da $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.3.2

Scomponi $10$ da $50$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.3.3

Scomponi $10$ da $10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.5

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 (- 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 5)$ come $- 1 (3 x^{2} - 5)$ .

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Passaggio 18.10

Moltiplica $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ per $1$ .

$\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$