Calcolo Esempi

7 e^{x} \sqrt{x}

$7 e^{x} \sqrt{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché

$7$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$7 e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a

$x$ è

$7 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{2}$ .

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 5

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 7.2

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 8.3

$e^{x}$ e

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 8.4

Sposta

$x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

$a^{x} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$7 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 (x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

Passaggio 10.2

$7$ e

$\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{x}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$7 e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$