Calcolo Esempi

\int {sin}^{5} (x) d x

$\int \sin^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza

{sin}^{4} (x)

$\sin^{4} (x)$ .

\int {sin}^{4} (x) sin (x) d x

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi

2

$2$ da

4

$4$ .

\int {sin (x)}^{2 (2)} sin (x) d x

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi

{sin (x)}^{2 (2)}

${\sin (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

\int {({sin}^{2} (x))}^{2} sin (x) d x

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

\int {({sin}^{2} (x))}^{2} sin (x) d x

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ come

1 - {cos}^{2} (x)

$1 - \cos^{2} (x)$ .

\int {(1 - {cos}^{2} (x))}^{2} sin (x) d x

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 4

Sia

u = cos (x)

$u = \cos (x)$ . Allora

d u = - sin (x) d x

$d u = - \sin (x) d x$ , quindi

- \frac{1}{sin (x)} d u = d x

$- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia

u = cos (x)

$u = \cos (x)$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di

cos (x)

$\cos (x)$ rispetto a

x

$x$ è

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

- sin (x)

$- \sin (x)$

- sin (x)

$- \sin (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 6

Espandi

{(1 - u^{2})}^{2}

${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi

{(1 - u^{2})}^{2}

${(1 - u^{2})}^{2}$ come

(1 - u^{2}) (1 - u^{2})

$(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 6.5

Sposta

$u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 6.6

Sposta

$u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.7

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.8

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.9

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.10

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.11

Moltiplica

$u^{2}$ per

$1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 6.13

Somma

$2$ e

$2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 6.14

Sottrai

$u^{2}$ da

$- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 6.15

Riordina

$- 2 u^{2}$ e

$u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Passaggio 6.16

Sposta

$1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di

$u^{4}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Passaggio 9

Poiché

$- 2$ è costante rispetto a

$u$ , sposta

$- 2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di

$u^{2}$ rispetto a

$u$ è

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{3}$ e

$u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{5}$ e

$u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$