Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 5 - 3 x |) + C$