Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Passaggio 10.3

Moltiplica $2$ per $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Passaggio 10.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Passaggio 10.5

Moltiplica $2$ per $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $t$ per $0.3398369$ e per $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Passaggio 14.2

Calcola $\sin (u)$ per $0.67967381$ e per $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Passaggio 14.3

Somma $0.3398369$ e $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Passaggio 15.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Passaggio 15.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Passaggio 15.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.4.1

Calcola $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Passaggio 15.1.4.2

Dividi $0.62853936$ per $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Passaggio 15.1.4.3

Calcola $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Passaggio 15.1.4.4

Dividi $- 0.99380799$ per $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Passaggio 15.1.4.5

Moltiplica $- 1$ per $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Passaggio 15.1.5

Somma $0.31426968$ e $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Passaggio 15.2

Somma $1.06956456$ e $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

$\frac{9}{2}$ e $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $9$ per $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Passaggio 15.4

Dividi $16.92664417$ per $2$ .

$8.46332208$

Passaggio 16