Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$