Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 12 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $6 x - 12$ e $0$ .

$6 x - 12$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x - 12 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 12 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x - 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 12$

Passaggio 5.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 12$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $12$ per $6$ .

$x = 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6$

Passaggio 9

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f (2) = 12 - 24 - 8$

Passaggio 10.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $24$ da $12$ .

$f (2) = - 12 - 8$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $8$ da $- 12$ .

$f (2) = - 20$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $- 20$ .

$y = - 20$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ .

$(2, - 20)$ è un minimo locale

Passaggio 12