Calcolo Esempi

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x = 3 \sqrt{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x = 3 \sqrt{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$3 \sqrt{x} = x$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{1} = x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.4

Semplifica.

$9 x = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Scomponi $u$ da $9 u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Scomponi $u$ da $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

Passaggio 1.2.4.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.5

Imposta $9 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Imposta $9 - x$ uguale a $0$ .

$9 - x = 0$

Passaggio 1.2.4.5.2

Risolvi $9 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 9$

Passaggio 1.2.4.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x = 9$

Passaggio 1.2.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (9 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 9$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $3 \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 3 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $9$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $3 \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \sqrt{9}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 3 \cdot 3$

Passaggio 1.4.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = 9$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Passaggio 3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Passaggio 3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $9$ e per $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $9$ e per $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.5

Moltiplica $2$ per $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.6.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.11

Moltiplica $2$ per $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.12.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.14

Somma $18$ e $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.15

Moltiplica $3$ per $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.16

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.17

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.18

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.18.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.18.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.10.2.3.18.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

Passaggio 3.10.2.3.19

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

Passaggio 3.10.2.3.20

Somma $\frac{81}{2}$ e $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.21

Per scrivere $54$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.22

$54$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.24

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.24.1

Moltiplica $54$ per $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.24.2

Sottrai $81$ da $108$ .

$\frac{27}{2}$

Passaggio 4