Calcolo Esempi

$x^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\ln (x)}$ come $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Passaggio 2

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Passaggio 3

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Passaggio 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Passaggio 5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 8

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Passaggio 9.2

$\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Passaggio 9.3

$e^{\ln^{2} (x)}$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Passaggio 10.2.1

Riordina $\ln (x)$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica $2 \cdot \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Passaggio 10.3

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$