Calcolo Esempi

$\int \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$