Calcolo Esempi

$y = \sin (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Passaggio 5.2

Sottrai $x y' \cos (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $y' - x y' \cos (x y)$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Passaggio 5.4

Dividi per $1 - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $1 - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x \cos (x y)$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$