Calcolo Esempi

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Allora $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

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Passaggio 3.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 3.1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.1.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 3.1.5.2.2

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

Passaggio 5

$2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$