Calcolo Esempi

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (2 x + 1)$ e $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x$ per $2 x + 1$ .

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Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Passaggio 11

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 11.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 11.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 11.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 15

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 16

Semplifica.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 17

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Passaggio 18.1.2

$\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Passaggio 18.2

Per scrivere $\frac{x}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Passaggio 18.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 18.3.1

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Passaggio 18.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

Passaggio 18.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Passaggio 18.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

Passaggio 18.5.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 18.5.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 18.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 18.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 19

Riordina i termini.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$