Calcolo Esempi

\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Passaggio 1

Sia

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Allora

d u = - \sin (t) d t

$d u = - \sin (t) d t$ , quindi

- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Trova

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ rispetto a

t

$t$ è

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

t

$t$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

t

$t$ è

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di

\cos (t)

$\cos (t)$ rispetto a

t

$t$ è

- \sin (t)

$- \sin (t)$ .

0 - \sin (t)

$0 - \sin (t)$

Passaggio 1.1.4

Sottrai

\sin (t)

$\sin (t)$ da

0

$0$ .

- \sin (t)

$- \sin (t)$

- \sin (t)

$- \sin (t)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

- \int \sqrt{u} d u

$- \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 3

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ come

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \int u^{\frac{1}{2}} d u

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a

u

$u$ è

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$

$\int_{}^{} \sin (t) \sqrt[]{1 + \cos (t)} d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

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÷

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<

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

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∞

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



!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$