Calcolo Esempi

lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Il valore esatto di

\tan (0)

$\tan (0)$ è

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per

0

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di

\tan (x)

$\tan (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ per

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta l'esponente

2

$2$ da

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\sec^{2} (0)

$\sec^{2} (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di

\sec (0)

$\sec (0)$ è

1

$1$ .

1^{2}

$1^{2}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

1

$1$

1

$1$