Calcolo Esempi

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 7

$\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 10

Scomponi $3$ da $3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Passaggio 15

Semplifica i termini.

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Passaggio 15.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 15.2

$2$ e $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Passaggio 15.3

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 15.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.5.1

Dividi ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ per $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$

Passaggio 15.5.2

Riordina i fattori di ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$