Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 1.3

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Passaggio 2

Sia $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$2 e^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y^{\frac{1}{2}}} + C$