Calcolo Esempi

$\int t e^{- 3 t} d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{- 3 t}$ .

$t (- \frac{1}{3} e^{- 3 t}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$e^{- 3 t}$ e $\frac{1}{3}$ .

$t (- \frac{e^{- 3 t}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Passaggio 2.2

$t$ e $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- \frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - (- \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t$

Passaggio 5

Sia $u = - 3 t$ . Allora $d u = - 3 d t$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3 t$ rispetto a $t$ è $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ come $- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$t$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t}{3} e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Passaggio 11.2.2

$e^{- 3 t}$ e $\frac{t}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 t$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

Passaggio 13

$e^{- 3 t}$ e $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$