Calcolo Esempi

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Il valore esatto di

\sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per

0

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

Poiché

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La derivata di

\sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Dividi

\cos (x)

$\cos (x)$ per

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

Il valore esatto di

\cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

1

$1$