Calcolo Esempi

\frac{ln (x)}{x}

$\frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ e

g (x) = x

$g (x) = x$ .

\frac{x \frac{d}{d x} [ln (x)] - ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata di

ln (x)

$\ln (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{x \frac{1}{x} - ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

x

$x$ e

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\frac{x}{x} - ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

$f (x) = 1 - \ln (x)$ e

$g (x) = x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in

${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$1 - \ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Somma

$0$ e

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- \ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

La derivata di

$\ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

$x^{2}$ e

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune di

$x^{2}$ e

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi

$x$ da

$x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Scomponi

$x$ da

$x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.5

Dividi

$x$ per

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Scomponi

$x$ da

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Scomponi

$x$ da

$- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Scomponi

$x$ da

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2.3

Scomponi

$x$ da

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi

$x$ da

$x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica

$- 2 (- \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.2.2

Semplifica

$2 \ln (x)$ spostando

$2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.2.2

Sottrai

$2$ da

$- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi

$- 3$ come

$- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.4

Scomponi

$- 1$ da

$\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.5

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Passaggio 2.6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a

$0$ e risolvi.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

$f (x) = \ln (x)$ e

$g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

La derivata di

$\ln (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$x$ e

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 - \ln (x) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (x) = - 1$

Passaggio 5.3.2

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- \ln (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- \ln (x) = - 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi

$\ln (x)$ per

$1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi

$- 1$ per

$- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Passaggio 5.3.3

Per risolvere per

$x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi

$\ln (x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

$x$ e

$b$ sono numeri reali positivi e

$b \neq 1$ , allora

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi l'equazione come

$x = e^{1}$ .

$x = e$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi

$0$ come

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno

$0$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta l'argomento in

$\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a

$0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di

$0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a

$0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = e$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per

$x = e$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa le regole del logaritmo per togliere

$2$ dall'esponente.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Passaggio 9.2

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Passaggio 9.5

Sottrai

$2$ da

$3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 10

$x = e$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = e$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando

$x = e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$e$ nell'espressione.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è

$\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 13