Calcolo Esempi

$y = x + \sin (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + \cos (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 + \cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 + \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 + \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 1.2.6

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x + \sin (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$(π) + \sin (π)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$π + \sin (0)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$π + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $π$ e $0$ .

$π$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $3 π$ a $x$ .

$(3 π) + \sin (3 π)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$3 π + \sin (0)$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$3 π + 0$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $3 π$ e $0$ .

$3 π$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $5 π$ a $x$ .

$(5 π) + \sin (5 π)$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$5 π + \sin (0)$

Passaggio 1.4.3.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$5 π + 0$

Passaggio 1.4.3.2.2

Somma $5 π$ e $0$ .

$5 π$

Passaggio 1.4.4

Calcola per $x = 7 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Sostituisci $7 π$ a $x$ .

$(7 π) + \sin (7 π)$

Passaggio 1.4.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Passaggio 1.4.4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$7 π + \sin (0)$

Passaggio 1.4.4.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$7 π + 0$

Passaggio 1.4.4.2.2

Somma $7 π$ e $0$ .

$7 π$

Passaggio 1.4.5

Calcola per $x = 9 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Sostituisci $9 π$ a $x$ .

$(9 π) + \sin (9 π)$

Passaggio 1.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Passaggio 1.4.5.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$9 π + \sin (0)$

Passaggio 1.4.5.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$9 π + 0$

Passaggio 1.4.5.2.2

Somma $9 π$ e $0$ .

$9 π$

Passaggio 1.4.6

Elenca tutti i punti.

$(π, π), (3 π, 3 π), (5 π, 5 π), (7 π, 7 π), (9 π, 9 π)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(π, π)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$(0) + \sin (0)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $2 π$ a $x$ .

$(2 π) + \sin (2 π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 π + \sin (0)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 π + 0$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$2 π$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2 π, 2 π)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2 π, 2 π)$

Minimo assoluto: $(0, 0)$

Passaggio 5