Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 25}$ come ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Passaggio 1.10

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 1.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.13

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.14.3

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.18

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.20.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.22

Per scrivere ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.24

Moltiplica ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.24.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.24.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.24.3

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.24.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.25

Semplifica ${(x^{2} - 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.26

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.27

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.27.1

Sottrai $25$ da $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.27.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.28

Riscrivi $\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

Passaggio 2.29

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} - 25}$ per $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.30

Moltiplica $x^{2} - 25$ per ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.1

Moltiplica $x^{2} - 25$ per ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.1.1

Eleva $x^{2} - 25$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.30.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.30.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.30.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.30.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 25}$ come ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 4.1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 4.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5.3

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 25}$ come ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 25$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 5$

Passaggio 6.3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5$

Passaggio 6.3.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5$

Passaggio 6.3.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5, - 5$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 25}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 25 < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Aggiungi $25$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} < 25$

Passaggio 6.5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < \sqrt{25}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Semplifica $\sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < | 5 |$

Passaggio 6.5.3.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$| x | < 5$

Passaggio 6.5.4

Scrivi $| x | < 5$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.5.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x < 5$

Passaggio 6.5.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.5.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x < 5$

Passaggio 6.5.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.5.5

Trova l'intersezione di $x < 5$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 5$

Passaggio 6.5.6

Risolvi $- x < 5$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.3.1

Dividi $5$ per $- 1$ .

$x > - 5$

Passaggio 6.5.6.2

Trova l'intersezione di $x > - 5$ e $x < 0$ .

$- 5 < x < 0$

Passaggio 6.5.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 5 < x < 5$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 5, 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $25$ da $25$ .

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{25}{0^{3}}$

Passaggio 9.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11