Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between $1$ and $2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.2.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - x - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a $x$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.3

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.2.3.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.5.1.2

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ a $x$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.3

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.3.3.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.6

Moltiplica $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Per scrivere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.4.2

Riordina i fattori di $\sqrt{3} \cdot 3$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Passaggio 1.4.2.2.5

Somma $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} - (1) - 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - (1) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - (2) - 1$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - (2) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 - 2 - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $8$ .

$6 - 1$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$5$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 1), (2, 5)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(2, 5)$

Minimo assoluto: $(1, - 1)$

Passaggio 5