Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.1.1.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 1.1.1.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 1.1.1.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 1.1.1.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 1.1.1.12

Somma $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.1.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.1.13.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Fattorizza $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $3$ da $3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $\cos (x) + \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 1.2.4.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 1.2.4.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 1.2.4.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 1.2.4.2.10

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 1.2.4.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 1.2.4.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.4.2.14

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.14.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 1.2.4.2.14.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.14.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.14.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.14.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.14.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.14.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.14.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.14.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.15

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.5

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.5.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 1.2.5.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 1.2.5.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 1.2.5.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 1.2.5.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 1.2.5.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 1.2.5.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 1.2.5.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.5.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 1.2.5.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.5.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $3 \sin (x) \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.7

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ a $x$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.3

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 1.4.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.6

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.6.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.6.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.9

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.9.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{4}$

Passaggio 3.1.2.7

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Passaggio 3.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 \cos (π)$

Passaggio 3.2.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 (- \cos (0))$

Passaggio 3.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.2.6.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Minimo assoluto: $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Passaggio 5