Calcolo Esempi

$f (θ) = \sin (θ)$ , $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = \cos (θ)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (θ) = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.5.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.7

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.8

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\sin (θ)$ per ciascun valore di $θ$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $θ = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $θ$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $θ = \frac{3 π}{2}$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{3 π}{2}$ a $θ$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{2}, 1), (- \frac{π}{2}, - 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $θ = - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci $- \frac{π}{2}$ a $θ$ .

$\sin (- \frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

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Passaggio 3.1.2.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 3.1.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Calcola per $θ = \frac{5 π}{6}$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $\frac{5 π}{6}$ a $θ$ .

$\sin (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (\frac{π}{6})$

Passaggio 3.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{π}{2}, - 1), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (θ)$ trovati per ciascun valore di $θ$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (θ)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (θ)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{π}{2}, 1)$

Minimo assoluto: $(- \frac{π}{2}, - 1)$

Passaggio 5