Calcolo Esempi

f (x) = sin (x) cos (x)

$f (x) = \sin (x) \cos (x)$ ,

[0, 2 π]

$[0, 2 π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = cos (x)

$g (x) = \cos (x)$ .

sin (x) \frac{d}{d x} [cos (x)] + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di

cos (x)

$\cos (x)$ rispetto a

x

$x$ è

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

sin (x) (- sin (x)) + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- ({sin}^{1} (x) sin (x)) + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- ({sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)) + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.5

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

- {sin (x)}^{1 + 1} + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.6

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

- {sin}^{2} (x) + cos (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.1.7

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

- {sin}^{2} (x) + cos (x) cos (x)

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.8

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- {sin}^{2} (x) + {cos}^{1} (x) cos (x)

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Passaggio 1.1.1.9

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- {sin}^{2} (x) + {cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Passaggio 1.1.1.10

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

- {sin}^{2} (x) + {cos (x)}^{1 + 1}

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.1.1.11

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

- {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.1.1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.1

Riordina

- {sin}^{2} (x)

$- \sin^{2} (x)$ e

{cos}^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ .

{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.1.1.12.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = cos (x)

$a = \cos (x)$ e

b = sin (x)

$b = \sin (x)$ .

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.3

Espandi

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.3.1

Applica la proprietà distributiva.

cos (x) (cos (x) - sin (x)) + sin (x) (cos (x) - sin (x))

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.3.2

Applica la proprietà distributiva.

cos (x) cos (x) + cos (x) (- sin (x)) + sin (x) (cos (x) - sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.3.3

Applica la proprietà distributiva.

cos (x) cos (x) + cos (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

cos (x) cos (x) + cos (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.4

Combina i termini opposti in

cos (x) cos (x) + cos (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.4.1

Riordina i fattori nei termini di

cos (x) (- sin (x))

$\cos (x) (- \sin (x))$ e

sin (x) cos (x)

$\sin (x) \cos (x)$ .

cos (x) cos (x) - cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.4.2

Somma

- cos (x) sin (x)

$- \cos (x) \sin (x)$ e

cos (x) sin (x)

$\cos (x) \sin (x)$ .

cos (x) cos (x) + 0 + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.4.3

Somma

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ e

0

$0$ .

cos (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

cos (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.5.1

Moltiplica

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.5.1.1

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

{cos}^{1} (x) cos (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.1.2

Eleva

cos (x)

$\cos (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.1.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

{cos (x)}^{1 + 1} + sin (x) (- sin (x))

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.1.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

{cos}^{2} (x) + sin (x) (- sin (x))

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

{cos}^{2} (x) - sin (x) sin (x)

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.1.12.5.3

Moltiplica

- sin (x) sin (x)

$- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.12.5.3.1

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) - ({sin}^{1} (x) sin (x))

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.3.2

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) - ({sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x))

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 1.1.1.12.5.3.3

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

{cos}^{2} (x) - {sin (x)}^{1 + 1}

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.1.1.12.5.3.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.1.1.12.6

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$\cos (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di

$\arccos (0)$ è

$\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Moltiplica

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.2.1

Moltiplica

$\frac{π}{2}$ per

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.3.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.2

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.4

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.6.1.5

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2

Moltiplica

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{3 π}{2}$ per

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di

$\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$2$ è

$2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.7.4.2

Dividi

$π$ per

$1$ .

$π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione

$\cos (2 x)$ è

$π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 1.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi

$\sin (x) \cos (x)$ per ciascun valore di

$x$ dove la derivata è

$0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per

$x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci

$\frac{π}{4}$ a

$x$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{4})$ è

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.2

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{4})$ è

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.3

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.3.6

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{1}}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per

$x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci

$\frac{3 π}{4}$ a

$x$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di

$\sin (\frac{π}{4})$ è

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 1.4.2.2.4

Il valore esatto di

$\cos (\frac{π}{4})$ è

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 1.4.2.2.5

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.5.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ per

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.5.2

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.5.3

Eleva

$\sqrt{2}$ alla potenza di

$1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.5.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.5.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.5.6

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6

Riscrivi

${\sqrt{2}}^{2}$ come

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{2}$ come

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2^{1}}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{2}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.7.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 1.4.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.7.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ , per qualsiasi intero

$n$

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ , per qualsiasi intero

$n$

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci

$0$ a

$x$ .

$\sin (0) \cos (0)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Il valore esatto di

$\sin (0)$ è

$0$ .

$0 \cos (0)$

Passaggio 3.1.2.2

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$0$

Passaggio 3.2

Calcola per

$x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci

$2 π$ a

$x$ .

$\sin (2 π) \cos (2 π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

$0$ e minore di

$2 π$ .

$\sin (0) \cos (2 π)$

Passaggio 3.2.2.2

Il valore esatto di

$\sin (0)$ è

$0$ .

$0 \cos (2 π)$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

$0$ e minore di

$2 π$ .

$0 \cos (0)$

Passaggio 3.2.2.4

Il valore esatto di

$\cos (0)$ è

$1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$0$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2 π, 0)$

Passaggio 4

Confronta i valori

$f (x)$ trovati per ciascun valore di

$x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore

$f (x)$ più basso.

Massimo assoluto:

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2})$

Minimo assoluto:

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

Passaggio 5