Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108 x$ rispetto a $x$ è $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $108$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 54 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $6$ da $108$ .

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ .

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ .

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $18$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 6, - 3$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 6, 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $6$ a $x$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Moltiplica $108$ per $6$ .

$432 - 972 + 648$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $972$ da $432$ .

$- 540 + 648$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $- 540$ e $648$ .

$108$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Moltiplica $108$ per $3$ .

$54 - 243 + 324$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Sottrai $243$ da $54$ .

$- 189 + 324$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $- 189$ e $324$ .

$135$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(6, 108), (3, 135)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Passaggio 2.1.2.1.5

Moltiplica $108$ per $2$ .

$16 - 108 + 216$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sottrai $108$ da $16$ .

$- 92 + 216$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $- 92$ e $216$ .

$124$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $7$ a $x$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Passaggio 2.2.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Passaggio 2.2.2.1.5

Moltiplica $108$ per $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Sottrai $1323$ da $686$ .

$- 637 + 756$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma $- 637$ e $756$ .

$119$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(2, 124), (7, 119)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, 135)$

Minimo assoluto: $(6, 108)$

Passaggio 4