Calcolo Esempi

$f (x) = | x + 1 |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $| x + 1 |$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- x - 1$ per $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.4

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.5

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.6

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.2

Per scrivere $| x + 1 |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Moltiplica $| x + 1 | | x + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.10

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11

Riscrivi $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.1

Raggruppa i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.3

Scomponi $- 1$ da $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.3.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3.3

Riscrivi $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ come $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ per $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica ${| x + 1 |}^{2}$ per $| x + 1 |$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Moltiplica ${| x + 1 |}^{2}$ per $| x + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.1

Eleva $| x + 1 |$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Passaggio 2.5.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x + 1 | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Passaggio 9.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Somma $- 4$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Dividi $- 3$ per $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Passaggio 10.2.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata prima $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Passaggio 10.3.2.3

Dividi $1$ per $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 10.3.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un minimo locale.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 11