Calcolo Esempi

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 t^{3}$ da $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.3.2.2

Somma $6 t$ e $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 t = 0$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 t = 0$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$t = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{0}{3}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $t = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.2

Calcola per $t = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $t$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1 + 3}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Passaggio 3

Confronta i valori $g (t)$ trovati per ciascun valore di $t$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (t)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (t)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Minimo assoluto: $(0, 0)$

Passaggio 4