Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x)$

Passaggio 1

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 7.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 12.2.2

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 14.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - 1$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 15

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 16.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 16.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 18