Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 8 x^{2} - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 8 x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- 4 x^{3} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 4 x^{3} + 16 x$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 16 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 16$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 8 x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- 4 x^{3} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 4 x^{3} + 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 16 x$ .

$- 4 x^{3} + 16 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 16 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} + 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 4 x$ da $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0)}^{2} + 16$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 16$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 16$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $16$ .

$16$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 8 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{2} - 8$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 8$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 8$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$f (0) = - 8$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 2)}^{2} + 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 4 + 16$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$- 48 + 16$

Passaggio 13.2

Somma $- 48$ e $16$ .

$- 32$

Passaggio 14

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{4} + 8 {(- 2)}^{2} - 8$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 16 + 8 {(- 2)}^{2} - 8$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- 2) = - 16 + 8 {(- 2)}^{2} - 8$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 8 \cdot 4 - 8$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 32 - 8$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 16$ e $32$ .

$f (- 2) = 16 - 8$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$f (- 2) = 8$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(2)}^{2} + 16$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 4 + 16$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$- 48 + 16$

Passaggio 17.2

Somma $- 48$ e $16$ .

$- 32$

Passaggio 18

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{4} + 8 {(2)}^{2} - 8$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = - 1 \cdot 16 + 8 {(2)}^{2} - 8$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (2) = - 16 + 8 {(2)}^{2} - 8$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 16 + 8 \cdot 4 - 8$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $8$ per $4$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 8$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 16$ e $32$ .

$f (2) = 16 - 8$

Passaggio 19.2.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$f (2) = 8$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 8 x^{2} - 8$ .

$(0, - 8)$ è un minimo locale

$(- 2, 8)$ è un massimo locale

$(2, 8)$ è un massimo locale

Passaggio 21