Calcolo Esempi

$h (x) = - x^{3} + 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$h'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$h'' (x) = - 3 (2 x)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$h'' (x) = - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 0$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 0$

Passaggio 9

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$h' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$h' (- 2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$h' (- 2) = - 12$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- 3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$h' (2) = - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$h' (2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 10.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$h' (2) = - 12$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $h (x) = - x^{3} + 4$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11