Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x + \frac{π}{4})$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $\sin (x + \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Passaggio 1.2.5

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Passaggio 1.2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Passaggio 1.2.7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.3

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 1.2.7.2.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 1.2.8

Trova il periodo di $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.9

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 1.2.9.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 1.2.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 1.2.10

Il periodo della funzione $\sin (x + \frac{π}{4})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.11

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\cos (x + \frac{π}{4})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ a $x$ .

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\cos (π)$

Passaggio 1.4.1.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 1.4.1.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{7 π}{4}$ a $x$ .

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $7 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{8 π}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Passaggio 1.4.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Passaggio 1.4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Passaggio 1.4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 1.4.2.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$\cos (2 π)$

Passaggio 1.4.2.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\cos (0)$

Passaggio 1.4.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Somma $0$ e $\frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $2 π$ a $x$ .

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.2.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Passaggio 3.2.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

Passaggio 3.2.2.3.2

Somma $8 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{4})$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.2.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{7 π}{4}, 1)$

Minimo assoluto: $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Passaggio 5