Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \cos^{2} (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.1.1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $3 \cos^{2} (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 \cos^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$3 \cdot 1^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$3 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + π n, 3), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(π, 3), (\frac{π}{2}, 0)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$3 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Calcola l'esponente.

$3 \frac{2}{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 (\frac{2}{4})$

Passaggio 3.1.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 3.1.2.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 \frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.1.2.6

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = π$ .

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$3 \cos^{2} (π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$3 {(- \cos (0))}^{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$3 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 3)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(π, 3)$

Minimo assoluto: $(\frac{π}{2}, 0)$

Passaggio 5