Calcolo Esempi

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.1.1.2.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.1.1.3.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $\sin (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 1.2.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.5

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $- \cos (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (θ) = 1$

Passaggio 1.2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Passaggio 1.2.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 1.2.5.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π - π$

Passaggio 1.2.5.2.6

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ = π$

Passaggio 1.2.5.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.7

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ per ciascun valore di $θ$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 + 1^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $θ = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $π$ a $θ$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Passaggio 1.4.2.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $θ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 3.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 + 1^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 3.2

Calcola per $θ = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $2 π$ a $θ$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Passaggio 3.2.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 + 1^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + 1$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (θ)$ trovati per ciascun valore di $θ$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (θ)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (θ)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, 3), (2 π, 3)$

Minimo assoluto: $(π, - 1)$

Passaggio 5