Calcolo Esempi

$h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$h'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$h'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $36$ per $1$ .

$h'' (x) = - 36 x^{2} + 48 x + 36$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 12 x$ da $24 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) + 36 x = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 12 x$ da $36 x$ .

$- 12 x \cdot x^{2} - 12 x (- 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x^{2}) - 12 x (- 2 x)$ .

$- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (x^{2} - 2 x) - 12 x (- 3)$ .

$- 12 x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 12 x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, 3, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 3, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 36 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 + 0 + 36$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 36$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$36$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = - 3 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = - 3 \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$h (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $18$ per $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$h (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 {(3)}^{2} + 48 (3) + 36$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 36 \cdot 9 + 48 (3) + 36$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 36$ per $9$ .

$- 324 + 48 (3) + 36$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $48$ per $3$ .

$- 324 + 144 + 36$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 324$ e $144$ .

$- 180 + 36$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 180$ e $36$ .

$- 144$

Passaggio 14

$x = 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$h (3) = - 3 {(3)}^{4} + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$h (3) = - 3 \cdot 81 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $81$ .

$h (3) = - 243 + 8 {(3)}^{3} + 18 {(3)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$h (3) = - 243 + 8 \cdot 27 + 18 {(3)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $8$ per $27$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 18 {(3)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 18 \cdot 9$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $18$ per $9$ .

$h (3) = - 243 + 216 + 162$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 243$ e $216$ .

$h (3) = - 27 + 162$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 27$ e $162$ .

$h (3) = 135$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $135$ .

$y = 135$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1) + 36$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 36 \cdot 1 + 48 (- 1) + 36$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$- 36 + 48 (- 1) + 36$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $48$ per $- 1$ .

$- 36 - 48 + 36$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $48$ da $- 36$ .

$- 84 + 36$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 84$ e $36$ .

$- 48$

Passaggio 18

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$h (- 1) = - 3 {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$h (- 1) = - 3 \cdot 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$h (- 1) = - 3 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$h (- 1) = - 3 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18 \cdot 1$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $18$ per $1$ .

$h (- 1) = - 3 - 8 + 18$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $8$ da $- 3$ .

$h (- 1) = - 11 + 18$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 11$ e $18$ .

$h (- 1) = 7$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $7$ .

$y = 7$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $h (x) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(3, 135)$ è un massimo locale

$(- 1, 7)$ è un massimo locale

Passaggio 21