Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ , $[0, 3]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.8

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.10

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.11

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.2.12

Dividi $x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.8

Moltiplica $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.9

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.11

Scomponi $6$ da $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.12.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.12.4

Dividi $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.3.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.4.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.1.1.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Somma $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ e $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

Passaggio 1.1.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova un fattore comune $x^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci $u$ a $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ${(u)}^{2}$ per ${(u)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

Passaggio 1.2.4.1.2

Somma $2$ e $3$ .

$u^{5} - 2 u = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $u$ da $u^{5} - 2 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Scomponi $u$ da $u^{5}$ .

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Scomponi $u$ da $- 2 u$ .

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ .

$u (u^{4} - 2) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.4

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 1.2.4.5

Imposta $u^{4} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Imposta $u^{4} - 2$ uguale a $0$ .

$u^{4} - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.5.2

Risolvi $u^{4} - 2 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{4} = 2$

Passaggio 1.2.4.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.4.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.4.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.4.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (u^{4} - 2) = 0$ vera.

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci $x$ a $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x^{\frac{1}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.6.2.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.7

Risolvi per $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2.1.1.2

Semplifica.

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ come $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{2}$ come $2^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.7.2.2.1.5

Riscrivi $2^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{2}$ .

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Passaggio 1.2.9

Escludi le soluzioni che non rendono $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Passaggio 1.3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 1.3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Dividi $0$ per $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.6

Dividi $0$ per $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Passaggio 1.4.1.2.1.9

Dividi $0$ per $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, - 4)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.3

Dividi $0$ per $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.4.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.6

Dividi $0$ per $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Passaggio 2.1.2.1.9

Dividi $0$ per $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 4$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{2 {(3)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sposta $3^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 {(3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica ${(3)}^{\frac{3}{2}}$ per $3^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Sposta $3^{- 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 (3^{- 1} {(3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.2

Per scrivere $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.3

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.4.2

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Passaggio 2.2.2.5

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.2.6

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.8.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 8}{2}$

Passaggio 2.2.2.8.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - 4), (3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Minimo assoluto: $(0, - 4)$

Passaggio 4